Động lượng của một hạt p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} là tích của khối lượng và vận tốc của hạt, giống như tích m u {\displaystyle \mathbf {u} } của vectơ-4 « u {\displaystyle \mathbf {u} } với khối lượng m của hạt trở thành động lượng-4. Nó thường được gọi là vec tơ năng lượng-động lượng, với ý nghĩa biểu diễn rằng năng lượng và động lượng (ít nhất đối với chuyển động) được thống nhất thành một khái niệm vật lý không tách rời, giống như không gian và thời gian kết hợp lại thành không-thời gian. Quả thực nếu các thành phần không gian của véctơ-4 này được đồng nhất với các thành phần của khái niệm động lượng cổ điển, thì các nhà vật lý mà dẫn đầu là Einstein đã đồng nhất thành phần thời gian của véctơ-4 chính là năng lượng của hạt.

Trong một hệ quy chiếu quán tính (ví dụ, hệ quy chiếu gắn với Trái Đất trong xấp xỉ bậc nhất, mà từ đây về sau gọi là hệ quy chiếu gắn với phòng thí nghiệm), các tọa độ của sự kiện liên hệ với quỹ đạo của hạt và (t, x, y, z) là các thành phần tọa độ trong hệ quy chiếu này. Véctơ-4 của năng lượng và động lượng của hạt là:

p = m u = ( E / c , p x , p y , p z ) {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {u} =(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})}         với: E / c = m c d t d τ p x = m d x d τ p y = m d y d τ p z = m d z d τ {\displaystyle E/c=mc{\frac {dt}{d\tau }}\qquad p_{x}=m{\frac {dx}{d\tau }}\qquad p_{y}=m{\frac {dy}{d\tau }}\qquad p_{z}=m{\frac {dz}{d\tau }}}

Vì véctơ-4 này tỉ lệ với vận tốc-4 bởi hệ số bất biến đối với bất kỳ sự thay đổi hệ quy chiếu quán tính nào, chúng ta có mối liên hệ sau: ( E / c ) 2 − ( p → ) 2 = m 2 c 2 {\displaystyle \left(E/c\right)^{2}-\left({\vec {p}}\right)^{2}=m^{2}c^{2}}

Ứng dụng của phép biến đổi Lorentz

Định nghĩa véctơ-4 năng lượng-động lượng, sử dụng các phần tử   ( d t ; d x ; d y ; d z ) {\displaystyle \ (dt;dx;dy;dz)} và thời gian riêng   d τ {\displaystyle \ d\tau } cùng tính bất biến dưới sự thay đổi hệ tọa độ, cho phép áp dụng phép biến đổi Lorentz đối với sự thay đổi hệ quy chiếu quán tính   p x {\displaystyle \ p_{x}} song song với   V {\displaystyle \ V} vận tốc tương đối giữa hai hệ quy chiếu[43]:

  E ′ / c = E / c + V . p x / c 1 − V 2 / c 2 p x ′ = p x + V . E / c 2 1 − V 2 / c 2 p y ′ = p y p z ′ = p z {\displaystyle \ E'/c={\frac {E/c+V.p_{x}/c}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}\qquad p_{x'}={\frac {p_{x}+V.E/c^{2}}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}\qquad p_{y'}=p_{y}\qquad p_{z'}=p_{z}}

Biểu thức năng lượng tương đối tính

Từ định nghĩa của véctơ-4 năng lượng-động lượng, đặc biệt là tọa độ thời gian của nó, chúng ta thu được biểu thức của tổng năng lượng của hạt trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm, mà trong đó hạt chuyển động với vận tốc v → {\displaystyle {\vec {v}}} (bởi vì năng lượng phụ thuộc vào hệ quy chiếu mà nó tính toán trên đó) trong dạng của:

E = γ m c 2 = m c 2 1 − ( v 2 / c 2 ) {\displaystyle E=\gamma {mc^{2}}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}}

• Trong thuyết tương đối hẹp, tổng năng lượng của một hạt bằng năng lượng nghỉ của hạt mc2 cộng với động năng K của hạt. Tính đến biểu thức năng lượng tương đối tính của hạt, chúng ta thu được biểu thức động năng của hạt tương đối tính:

K = E − m c 2 = m c 2 ( 1 1 − ( v 2 / c 2 ) − 1 ) {\displaystyle K=E-mc^{2}=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}-1\right)}

• • Ở những vận tốc "nhỏ" (tức là tương đối bé so với tốc độ ánh sáng, và áp dụng ở cơ học "cổ điển"), chúng ta thu được, (trong xấp xỉ bậc nhất):

E ≃ m c 2 + ( 1 / 2 ) m v 2 {\displaystyle E\simeq mc^{2}+(1/2)mv^{2}} Công thức này cho thấy tổng năng lượng của hạt bằng tổng năng lượng nghỉ mc2 của hạt cộng với động năng cổ điển xác định theo cơ học Newton (1/2)mv2; đối với vận tốc tương đối "bé".

• • Đối với vận tốc rất gần vận tốc ánh sáng, đại lượng của nó bằng 1 - β = [1 - (v/c)] trở lên đáng kể.

Ta có: 1 − β 2 = ( 1 + β ) ( 1 − β ) ≃ 2 ( 1 − β ) {\displaystyle 1-\beta ^{2}=(1+\beta )(1-\beta )\simeq 2(1-\beta )} Do đó tổng năng lượng có thể viết thành, (trong xấp xỉ bậc nhất): E ≃ p c = m c 2 2 ( 1 − β ) ≡ m c 2 2 [ 1 − ( v / c ) ] {\displaystyle E\simeq pc={\frac {mc^{2}}{\sqrt {2(1-\beta )}}}\equiv {\frac {mc^{2}}{\sqrt {2[1-(v/c)]}}}}

Biểu thức động lượng tương đối tính

Mặt khác thành phần vận tốc của hạt trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm là:

v x = d x / d t v y = d y / d t v z = d z / d t {\displaystyle v_{x}=dx/dt\qquad v_{y}=dy/dt\qquad v_{z}=dz/dt}

Tính đến hệ số giãn thời gian giữa dt và d τ {\displaystyle \tau } , chúng ta thu được công thức quan trọng của động lượng trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm:

p = m v 1 − ( v 2 / c 2 ) {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}}

Sự tương đương giữa năng lượng và khối lượng nghỉ

Véc tơ-4 năng lượng-động lượng có đặc trưng ở chuẩn của nó, hoặc bình phương vô hướng (hay bình phương của khoảng không-thời gian), là đại lượng bất biến dưới phép thay đổi hệ tọa độ. Viết ngắn gọn đại lượng:

E 2 / c 2 − p 2 với p 2 = p x 2 + p y 2 + p z 2 {\displaystyle E^{2}/c^{2}\,-\,p^{2}\qquad {\text{với}}\qquad p^{2}=p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}

là độc lập với hệ quy chiếu được tính toán. Khi chuyển sang hệ quy chiếu của hạt thì vận tốc của nó bằng 0, và tương ứng động lượng bằng 0, do vậy chuẩn của đại lượng bất biến này trở thành (m c)2. Trong hệ quy chiếu bất kỳ chúng ta có mối liên hệ sau:

E 2 / c 2 − p 2 = ( m c ) 2 {\displaystyle E^{2}/c^{2}-p^{2}=(mc)^{2}}

hoặc:

E 2 − p 2 c 2 = m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}}

Các hệ số c được đưa vào trong công thức nhằm đảm bảo tính đồng nhất giữa các hệ tọa độ, p có độ lớn (mv), và E có độ lớn (mv2).

Có một số nhận xét như sau:

(i) Giá trị của tổng năng lượng của hạt phụ thuộc vào hệ quy chiếu của quan sát viên. Tuy nhiên, giá trị của khối lượng - năng lượng nghỉ là đồng nhất trong mọi hệ quy chiếu, và đặc biệt trong hệ quy chiếu của hạt. Do vậy đây là đặc tính của nội tại của hạt.(ii) Khi v tiến đến c, γ {\displaystyle \gamma } tiến đến vô cùng, có nghĩa là cần một lượng năng lượng lớn vô hạn để gia tốc hạt đạt đến vận tốc bằng vận tốc ánh sáng. Rõ ràng điều này là không thể. Tuy nhiên chúng ta có thể gia tốc hạt đến vận tốc rất gần bằng c.(iii) Các hiệu ứng của thuyết tương hẹp xuất hiện ở nhiều hiện tượng vật lý, thậm chí khi vận tốc không đạt đến vận tốc "tương đối tính"[note 2]. Một ví dụ đó là năng lượng liên kết của nguyên tử đơn giản nhất: khối lượng của nguyên tử hiđrô H 1 1 {\displaystyle H_{1}^{1}} nhỏ hơn tổng khối lượng của electron và proton với một lượng bằng khối lượng tương đương của năng lượng ion hóa của nguyên tử. Khối lượng chênh lệch cỡ một phần mười tỷ. Sự chênh lệch này cũng xuất hiện ở các nguyên tử khác cũng như ở liên kết phân tử.

Sự tương đương khối lượng năng lượng được cho theo công thức nổi tiếng E=mc2. Để chứng tỏ sự tương đương này là một bước tiến quan trọng, bởi vì khái niệm vật chất và năng lượng được coi là hai khái niệm tách biệt cho đến thời điểm đấy, một số nhà khoa học, như Poincaré và Lorentz, đã độc lập với nhau thử xấp xỉ nguyên lý này trong thuyết điện từ học. Chú ý rằng trong khi khối lượng là chuẩn của véc tơ-4 năng lượng-động lượng, năng lượng chỉ là một trong các "thành phần" của véc tơ-4 này. Khối lượng cho bởi:

m 2 = ( E 2 − p 2 c 2 ) / c 4 {\displaystyle m^{2}=(E^{2}-p^{2}c^{2})/c^{4}}

là bất biến dưới sự thay đổi hệ tọa độ (nó là như nhau trong mọi hệ quy chiếu). Năng lượng, ngược lại giá trị của nó phụ thuộc vào hệ quy chiếu lựa chọn, rõ ràng là nếu vận tốc của hệ quy chiếu thay đổi, thì động năng cũng thay đổi theo.